Докажите, что при любых значениях x и y имеет место неравенство x^2 + 10y^2 - 6xy + 10 x - 26 y + 30 >0

x^2 + 10y^2 - 6xy + 10 x - 26 y + 30>0

перепишем неравенство в виде

x^2 - 2x (3y-5) + (3y-5) ^2 - (3y-5) ^2 + 10y^2 - 26 y + 30>0

используя формулу квадрата двучлена

(x-3y+5) ^2 - 9y^2+30y-25 + 10y^2 - 26 y + 30>0

сводя подобные члены

(x-3y+5) ^2 + y^2 + 4 y + 5>0

перепишем в виде

(x-3y+5) ^2 + y^2 + 4 y + 4+1>0

группируя

(x-3y+5) ^2 + (y^2 + 4 y + 4) + 1>0

используя формулу квадрата двучлена

(x-3y+5) ^2 + (y + 2) ^2 + 1>0

квадрат любого выражения неотрицателен,

сумма двух неотрицатеьных выражений неотрицательна

сумма неотрицательного выражения и положительного величина положительная

поэтому (x-3y+5) ^2 + (y + 2) ^2 + 1>0 верно для любых значений x и y, а значит

и исходное неравенство x^2 + 10y^2 - 6xy + 10 x - 26 y + 30 >0

Доказано