Докажите что для любых x и y верно неравенство:

1+x^2+y^2 > xy+x+y

Согласно неравенству о средних, среднее квадратическое больше/равно среднего арифметического, которое больше/равно среднего геометрического: √ ((x²+y²) / 2) ≥ (x+y) / 2 ⇔ x+y≤2√ ((x²+y²) / 2). Усилим неравенство: 1+x²+y²≥xy+x+y ⇔1 + (x²+y²) / 2 + (x²+y²/2) ≥2√ ((x²+y²) / 2) + xy. Далее заметим, что a+1≥2√a ⇔a+1-2√a = (√a-1) ²≥0 при любых действительных а. Т. е., (x²+y²) / 2+1≥2√ ((x²+y²) / 2). Тогда необходимо доказать, что (x²+y²) / 2≥xy. Действительно, будет верно, как следствие из неравенства о средних. Доказано