Найдите максимальное значение выражения а2+в2, если известно, что а2+в2+ав=а+в

A²+b²+ab=a+b

Пусть

a+b=t

Возведем обе части в квадрат

a²+2ab+b²=t²

Выразим

a²+b²+ab=t²-ab

и

по условию

a²+b²+ab=t

Приравниваем правые части

t²-ab=t ⇒ab=t²-t значит

a²+b²=t-ab

a²+b²=t-t²+t

a²+b²=2t-t²

Квадратный трехчлен

2t-t² принимает наибольшее значение в точке t=1

t=1 - абсцисса вершины параболы.

При t=1 2t-t²=2*1-1²=2-1=1

О т в е т. максимальное значение выражения а²+b² при a²+b²+ab=a+b равно 1.