Докажите, что разность кубов двух последовательных натуральных чисел при делений даёт в остатке 1

Видимо, в условии сказано при делении на 6.

Рассмотрим разность кубов двух чисел a и b: a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²). Поскольку у нас b = n, a = n + 1, то получаем (n + 1) ³ - n³ = (n + 1 - n) ((n + 1) ² + n (n + 1) + n²) = n² + 2n + 1 + n² + n + n² = 3n² + 3n + 1 = 3n (n + 1) + 1. Отсюда видим, что член 3n (n + 1) кратен 6, поскольку при четном n, 3n кратно 6, а при нечетном n, 3 (n + 1) кратно 6. следовательно (n + 1) ³ - n³ = 6k + 1, где k - натуральное и при делении на 6 дает остаток 1.