При каких значениях A квадратные трехчлены x^2+ax+1 и x^2+x+a имеют общий корень?

Дискриминанты обоих уравнений должны быть неотрицательны:

a^2 - 4 >=0 a=2

1 - 4a >=0 a<=1/4 Общая область: a< = - 2

Не будем писать выражения для корней (решение слишком громоздкое). Воспользуемся лучше теоремой Виета:

Пусть х и у - корни первого уравнения, а х и z - корни второго. х - их общий корень. Тогда по теореме Виета имеем следующие уравнения для корней:

х + у = - а

ху = 1

x + z = - 1

xz = a Имеем систему 4 уравнений с 4 неизвестными.

Из первого вычтем третье, а четвертое поделим на второе.

y - z = 1 - a y (1-a) = 1-a y = 1 значит из второго: х = 1

z/y = a z = ay

Подставив х и у в первое, получим 1 + 1 = - а, а = - 2.

Удовлетворяет ОДЗ для а.

Ответ: при а = - 2.