Cуществуют ли такие целые числа x, у, что x^2=y^2+2018

Не существуют. Остаток от деления квадрата целого числа на 4 может быть только 0 или 1. Остаток от деления 2018 на 4 равен 2. Поэтому остаток от деления правой части на 4 равен либо 0+2=2, либо 1+2=3. Но левая часть имеет остаток 0 или 1. Поэтому равенства быть не может.

То, что остаток от деления квадрата может быть 0 или 1 легко проверяется перебором случаев: x=4k, x=4k+1, x=4k+2 и х=4k+3 и возведением их в квадрат.