Докажите, что 4^{n+1} + 3^{2n} делится на 5 для любого натурального числа n.

По индукции.

База. n = 1: 4^2 + 3^2 = 25 делится на 5.

Переход. Пусть делится при n = k. Рассмотрим n = k + 1:

4^ (k + 2) + 3^ (2k + 2) = 4 * 4^ (k + 1) + 9 * 3^ (2k) = 4 (4^ (k + 1) + 3^ (2k)) + 5 * 3^ (2k)

Первое слагаемое делится на 5 по предположению индукции, второе - тоже очевидно делится на 5, значит, вся сумма делится на 5. Индукционный переход доказан.

Тогда по принципу математической индукции это верно для всех натуральных n.