Сколько решений имеет уравнение (2x+y) ^2=2017+x^2 в целых числах x, y?

Упростим данное уравнение.

(2 х+у) ² = 2017 + х²

(2x+y) ² - х² = 2017

(2 х+у-х) (2 х+у+х) = 2017

(х+у) (3 х+у) = 2017

Число 2017 - простое. Все делители числа 2017 это 1 и 2017.

(х+у) · (3 х+у) = 1·2017

отсюда вытекает только одна система:

{х+у = 1

{3 х+у=2017

Из первого уравнения выразим у.

у=1-х

Подставим у=1-х во второе уравнение и получим:

3 х+1-х = 2017

2 х = 2017 - 1

2 х = 2016

х = 2016 : 2

х = 1008

Подставим х=1008 в у = 1-х и найдём у.

у = 1 - 1008

у = - 1007

Получили только 1 решение: х = 1008; у = - 1007

Проверка:

(2*1008-1007) ² = 2017+1008²

1009² - 1008² = 2017

(1009-1008) (1009+1008) = 2017

1*2017 = 2017

2017 = 2017 верное равенство.

Ответ: х = 1008; у = - 1007 только одно решение.