Решите систему уравнений

x^2+y^2+xy=7

x+y+xy=5

{х² + у² + ху = 7

{х + у + ху = 5

Сложим эти два уравнения

х² + у² + ху + х + у + ху = 7 + 5

(х² + 2 ху + у²) + (х + у) = 12

(х + у) ² + (х + у) - 12 = 0

Делаем подстановку х + у = t

Получаем квадратное уравнение

t² + t - 12 = 0

D = 1 - 4 * 1 * (-12) = 49 = 7²

t1 = (-1 - 7) / 2 = - 4

t2 = (- 1 + 7) / 2 = 3

1)

Выполним обратную подстановку для t = х + у, получим при t1 = - 4

х + у = - 4

Выразим у = - х - 4

Подставим во второе уравнение

х + (- х - 4) + х * (-х - 4) = 5

х - х - 4 - х² - 4 х = 5

Получим квадратное уравнение

х² + 4 х + 9 = 0

D = 16 - 4 * 1 * 9 = 16 - 36 = - 20 < 0 корней нет

2)

Выполним обратную подстановку для t = х + у, получим при t2 = 3

1) х + у = 3

Выразим у = - х + 3

Подставим во второе уравнение

х + (- х + 3) + х * (-х + 3) = 5

х - х + 3 - х² + 3 х = 5

Получим квадратное уравнение

х² - 3 х + 2 = 0

D = 9 - 4 * 1 * 2 = 1

√D = √1 = 1

х1 = (3 + 1) / 2 = 2

х2 = (3 - 1) / 2 = 1

При х1 = 2 находим у1 = - 2 + 3 = 1

При х2 = 1 находим у2 = - 1 + 3 = 2

Ответ: {2; 1} и {1; 2}

x+x*y+y=5;

x^2+x*y+y^2=7;

x+x*y+y+x^2+x*y+y^2=12;

(x+y) ^2 + (x+y) = 12 = (x+y) * (x+y+1) = 12;