На 64-клеточную шахматную доску ставятся наудачу две ладьи белого и черного цвета. С какой вероятностью они не будут "бить"друг друга?

Если я правильно понял задачу, то ладьи нужно расставить по шахматным правилам, т. е. белые не бьют черных, но при этом фигуры одного цвета могут атаковать друг друга.

Всего возможных расстановок 64*63*62*61 (Сначала было свободно 64 поля, т. е. число возможных расстановок одной ладьи равно 64. После постановки первой ладьи свободными остались 63 поля. Соответственно, число способов, которыми можно расставить две ладьи, равно 64*63. Продолжая рассуждения до 4-ой ладьи приходим к числу 64*63*62*61).

Найдем количество расстановок, удовлетворяющих условию. Пусть сначала ставятся две белые ладьи, а затем две черные. Ладья примечательна тем, что из любого поля доски обстреливает ровно 14 клеток (Легко показать. Ладья занимает одно из полей на одной из вертикалей и обстреливает остальные семь. Аналогично для горизонталей. В сумме 7 + 7 = 14).

Возможны два случая:

1) Обе белые ладьи не атакуют друг друга. Тогда количество необстреливаемых ими полей равно 36 (Одна ладья обстреливает 14 полей, плюс занимает одно поле - всего 15. Вторая ладья также обстреливает 14 полей, однако из них 2 поля уже обстреливает первая ладья. Плюс поле, на котором стоит вторая ладья. В сумме 14 + 1 + 12 + 1 = 28. Тогда необстреливаемых полей 64 - 28 = 36). Соответственно число таких расстановок равно 64*49*36*35 (Первую ладью ставим 64-мя способами. Под обстрел попадают 14 полей плюс поле, на которое встала первая ладья. Итого 64 - 14 - 1 = 49 полей для второй ладьи. Необстреленных полей для третьей ладьи 36. И для четвертой ладьи 35 полей, так как одно из 36-и занято).

2) Обе белые ладьи атакуют друг друга. Необстреливаемых полей теперь 42 (Рассмотрим линию, на которой стоят обе ладьи. Понятно, что вся эта линия, т. е. 8 полей, заняты. Плюс дважды семь полей, которые обстреливаются по перпендикулярному данной линии направлению. Итого занято 8 + 7 + 7 = 22 поля. Тогда свободно 64 - 22 = 42 поля). Тогда число расстановок таких расстановок равно 64*14*42*41 (Первую ладью ставим 64-мя способами. Под обстрел попало 14 полей, значит для второй ладьи всего 14 мест. Необстреленных полей для третьей ладьи 42. И для четвертой ладьи 41 поле, так как одно из 42-х занято).

Значит вероятность равна (64*49*36*35 + 64*14*42*41) / (64*63*62*61) ≈ 0,3603 = 36,03%.

Приведу ответ и на тот случай, если цвет не важен и ладьи просто не должны бить друг друга. Ответ (64*49*36*25) / (64*63*62*61) ≈ 0,1851 = 18,51%.