Можно ли раскрасить все натуральные числа в 3 цвета так, чтобы сумма любых четерех чисел одного цвета имела бы этот же цвет?

Можно. Например так:

1 цветом покрасим все числа кратные 3, вторым дающим при делении на 3 остаток 1, а третьим цветом дающие при делении на 3 остаток 2 соответственно. Действительно сумма любых четырех чисел кратных 3 делиься на 3, сумма любых 4 чисел дающих при делении на 3 остаток 1, тоже дает остаток 1, тк 1+1+1+1=3+1, тоже можно сказать про остаток 2. 2+2+2+2=2*3 + 2. То есть тоже дает остаток два. Таким методом можно сказать что все натуральные числа можно разбить на n цветов, так чтобы сумма любых n+1 одного цвета давало тот же цвет. Разбив по остаткам все числа.