Найти производную в M (2; -2) по направлению

1. находим частные производные.

du/dx = (-y/x²) * 1 / (1+y²/x²) = - y / (x²+y²), du/dy = (1/x) * x² / (x²+y²) = x / (x²+y²)

2) находим значение этих производных в точке М:

du/dx (2; -2) = 2 / (4+4) = 1/4=0,25; du/dy (2; -2) = 2 / (4+4) = 1/4=0,25.

3) Уравнение x²+y²=4x, или x²-4x+y² = (x-2) ²+y²-4=0, или (x-2) ²+y²=4, очевидно, есть уравнение окружности с центром в точке М1 (2; 0) и радиусом r=√4=2.

4) Обозначим F (x, y) = x²-4x+y². Найдём dF/dx и dF/dy.

dF/dx=2x-4, dF/dy=2y.

5) Найдём значения этих производных в точке М.

dF/dx (2; -2) = 0, dF/dy (2; -2) = - 4. Эти значения являются координатами нормального вектора, проходящего через точку М, то есть вектора, перпендикулярного вектору, направленному по касательной к окружности в данной точке М. Из бесчисленного множества последних выберем нормированный. Пусть этот вектор имеет координаты Ax и Ay. Тогда, так как векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0. Но последнее можно записать в виде 0*Ax + (-4) * Ay=0, откуда Ay=0. С другой стороны, скалярное произведение Ax*Ax+Ay*Ay = (Ax) ² + (Ay) ²=1, откуда Ax=+1 и Ax=-1.

6) Производная по направлению в точке М вычисляется по формуле

du/dl=du/dx (2; -2) * cos α + du/dy (2; -2) * cos β, где cos α=Ax/модуль А, cos β=Ay/модуль А. Но модуль А=1, и тогда cos α=1 либо cos α=-1, cos β=0. А тогда du/dl=0,25*1=0,25, либо du/dl=-0,25. Ответ: 0,25 либо - 0,25.