Остаток при делении натурального числа m на 11 равен 9, а остаток при делении натурального числа n на 11 равен 5. Докажите, что остаток при делении произведения чисел m и n на 11 равен 1.

По условию:

m = 11*q+9,

n = 11*p+5,

где p и q - тоже целые, как и m и n. Тогда

m*n = (11q+9) * (11p+5) = 11q * (11p+5) + 9 * (11p+5) = 11q * (11p+5) + 9*11p + + 9*5 = 11 * (11pq+5q+9p) + 45 = 11 * (11pq+5q+9p) + 4*11+1 =

= 11 * (11pq+5q+9p+4) + 1,

если p и q - целые, тогда и выражение в скобках (11pq+5q+9p+4) = T тоже целое, то есть m*n = 11*T+1, где T - целое, а это и значит, что остаток от деления (m*n) на 11 будет единица.