Решить уравнение:

cos 2x+3sin x=2 укажите его наибольшее решение, принадлежащее отрезку ]-3 пи; пи]

Так как cos 2*x=cos²x-sin²x, то уравнение приводится к виду cos²x-sin²x+3*sin x-2 = (1-sin²x) - sin²x+3*sin x-2=-2*sin²x+3*sin x-1=0, или 2*sin²x-3*sin x+1=0. Пусть sin x=t, тогда получаем квадратное уравнение относительно t: 2*t²-3*t+1=0. Дискриминант D = (-3) ²-4*2*1=1, и тогда

мы получаем два уравнения для sin x:

t1=sin x1 = (3+1) / 4=1,

t2 = sin x2 = (3-1) / 2=1/2.

Если взять указанный в условии отрезок [-3*π; π], то наибольшим решением уравнения на данном отрезке является x=5*π/6. Проверка:

cos² (5*π/6) - sin² (5*π/6) + 3*sin (5*π/6) = (-√3/2) ² - (1/2) ²+3*1/2=3/4-1/4+3/2=2.

Ответ: x=5*π/6.