Помогите решить уравнение.

Подбором находим один корень, но как найти остальные?

Также можно заметить, что

Ну насчет степеней ты сам догадался, про замену тебе подсказали, решаем дальше.

Во-первых, t = (2+√3) ^x > 0 при любом x

t^3 - 5t^2 + 6t + 1/t - 5 = 0

Умножаем все на t.

t^4 - 5t^3 + 6t^2 - 5t + 1 = 0

Это симметричное уравнение, оно решается делением на t^2

t^2 - 5t + 6 - 5/t + 1/t^2 = 0

Заметим, что (t + 1/t) ^2 = t^2 + 2*t*1/t + 1/t^2 = (t^2 + 2 + 1/t^2)

(t^2 + 2 + 1/t^2) - 5 (t + 1/t) + 4 = 0

(t + 1/t) ^2 - 5 (t + 1/t) + 4 = 0

Опять замена t + 1/t = z > = 2 при любом t > 0, причем z = 2 при t = 1.

z^2 - 5z + 4 = 0

Наконец-то свели к к квадратному уравнению.

(z - 1) (z - 4) = 0

1) z = 1 - не бывает, решений нет

2) z = 4 = t + 1/t

t^2 - 4t + 1 = 0

D = 4^2 - 2*1*1 = 16 - 4 = 12 = (2√3) ^2

t1 = (4 - 2√3) / 2 = 2 - √3

t2 = 2 + √3

Обратная замена

t1 = (2 + √3) ^x = 2 - √3 = (2 + √3) ^ (-1) ; x1 = - 1

t2 = (2 + √3) ^x = 2 + √3; x2 = 1

Всё!