4sinx+3cosx=3

Наименьший положительный корень уравнения

Дано уравнение 4sin (x) + 3cos (x) = 3.

Введём замену: у = tg (x/2).

Тогда sin (x) = 2y / (y ²+1), cos (x) = (1-y²) / (y²+1).

Тогда исходное уравнение примет вид:

4 * (2y / (y ²+1)) + 3 * ((1-y²) / (y²+1)) - 3 = 0.

Раскроем скобки и приведём подобные.

(8 у+3-3 у ²-3 у²-3) / (у²+1) = 0.

(8 у-6 у²) / (у²+1) = 0.

Если дробь равна нулю, то нулю равен числитель.

8 у-6 у² = 0.

Сократим на - 2:

3 у²-4 у = 0 или у (3 у-4) = 0.

Отсюда у = 0 (этот корень не соответствует заданию),

3 у-4 = 0.

у = (4/3).

Обратная замена: tg (x/2) = 4/3.

x/2 = arc tg (4/3) + πк,

x = 2arc tg (4/3) + 2πк = 2 (0,927295 + πk).

Заданию соответствует значение при к = 0, то есть:

х = 2arc tg (4/3) ≈ 1,85459.