Найдите диагональ прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 18 см и 24 см и имеющего с ним общий прямой угол.

Введём прямоугольную систему координат ХОУ с началом в вершине прямого угла треугольника.

Тогда уравнение гипотенузы будет равно у = (-18/24) х + 18 = (-3/4) х + 18 = - 0,75 х + 18.

Вписанный прямоугольник будет своей вершиной находится на гипотенузе. Его площадь будет выражаться уравнением S = x*y =

=x * (-0,75 х + 18) = - 0,75 х² + 18x.

Максимум этой функции найдём с помощью производной, приравненной 0:

S' = - 1,5x + 18 = 0

x = 18 / 1,5 = 12.

Высота прямоугольника у = - 0,75*12 + 18 = - 9 + 18 = 9.

Тогда диагональ равна √ (12²+9²) = √ (144+81) = √225 = 15.