При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения x^2+2ax+2a^2+4a+3=0 является наибольшей? Чему равна эта сумма.

Коли речь идет о двух корнях, то дискриминант должен быть >=0.

D = (2a) ^2-4 (2a^2+4a+3) = 4a^2-8a^2-16a-12=-4a^2-16a-12 | : 4

-a^2-4a-3>=0

a^2+4a+3<=0

a^2+4a+3=0

D=4^2-4*1*3=4

a1 = (-4-2) / 2=-3

a2 = (-4+2) / 2=-1

-3<=a<=-1

Воспользуемся теоремой Виетта:

x1+x2=-b/a=-2a

x1*x2=c/a=2a^2+4a+3

x1^2+x2^2 = (x1+x2) ^2-2x1x2 = (-2a) ^2-2 (2a^2+4a+3) = 4a^2-4a^2-8a-6=

=-8a-6.

Наибольшее значение это выражение примет при наименьшем значении "a", т. е. при а=-3.

Проверим:

1) a=-3

-8 * (-3) - 6=18

2) a=-2

-8 * (-2) - 6=10

3) a=-1

(-8) * (-1) - 6=2

Ответ: 18