Найдите точку максимума функции у = (х-7) ^2 (х+8) + 29

Чтобы найти максимум функции, сначала найдём производную и приравняем её к нулю (критические точки), затем определит знаки производной.

1) Производная у = 2 (х - 7) (х + 8) + (х - 7) ^2 = (x - 7) (2x + 16 + x - 7) = (x - 7) (3x + 9) = 3 (x - 7) (x + 3)

2) Найдём критические точки 3 (х - 7) (х + 3) = 0 (распадающееся уравнение)

х - 7 = 0 х + 3 = 0

х = 7 х = - 3

3) Нарисуйте числовую прямую и отметьте критические точки - 3 и 7. Они разбиваю прямую на три промежутка. Так как перед переменными стоят положительные знаки, то используя метод интервалов с правого интервала идёт чередование знаков " + " "-" "+"

4) В точке х = - 3 знаки производной меняются с "+" на "-", а это признак точки максимум

Ответ: х = - 3