1) Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p - q) ³.

2) Приведенный квадратный трехчлен f (x) имеет 2 различных корня.

Может ли так оказаться, что уравнение f (f (x)) = 0 имеет 3 различных корня, а уравнение f (f (f (x))) = 0 - 7 различных корней?

1) Ответ: p = 5, q = 3.

Пусть p - q = n, тогда p + q = n³.

2)

Ответ: Нет.

Из условия следует, что f (x) = (x - a) (x - b), где a ≠ b.

Пусть искомый многочлен f (x) существует.

Тогда, очевидно f (f (x)) = (x - t1) ² (x - t2) (x - t3).

Заметим, что t1, t2, t3 - корни уравнений f (x) = a и f (x) = b, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение f (x) = a имеет один корень x = t1.

Рассмотрим уравнение f (f (f (x))) = 0. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений f (f (x)) = a и f (f (x)) = b. Но уравнение f (f (x)) = a равносильно уравнению f (x) = t1 и имеет не более двух корней, а уравнение f (f (x)) = b - не более четырех корней (как уравнение четвертой степени).

То есть уравнение f (f (f (x))) = 0 имеет не более 6 корней.