Лист бумаги разорвали на 4 части, какие-то из этих частей снова разорвали на 4 части и т. д. Вася насчитал 66 кусков, а петя-67. Кто из них ошибается? объяснить.

При каждом разрыве исчезает одна часть (ее ведь разорвали), но вместо нее появляются 4 новых части. Т. е. к предыдущим частям добавилось - 1 + 4 = 3 части.

Пусть a[n] - это количество частей после n разрывов. Тогда a[n+1] = a[n] + 3. Это формула для n-го члена арифметической прогрессии (a[n] = a[1] + (n - 1) * d), где a[1] = 1 (в начале был 1 лист) и d = 3.

Итак, a[n] = 1 + (n - 1) * 3 = 3*n - 2 (*)

Наша задача свелась к следующим двум вопросам:

1. Существует ли n, при котором a[n] = 66?

2. Существует ли n, при котором a[n] = 67?

Ответим на эти вопросы:

1. a[n] = 3*n - 2 = 66 = > n = 68/3 - не целое число = > такого n не существует.

2. a[n] = 3*n - 2 = 67 = > n = 69/3 = 23 = > существует, и n = 23.

Ответ: Ошибается Вася.