При каком целом k неравенство x^2 + 2 (4k-1) x + 15k^2 - 2k - 7 > 0 верно при любом действительном x?

Слева в неравенстве квадратный трехчлен - - - парабола, ветви вверх ...

график параболы с ветвями вверх всегда > 0 только в случае, когда у параболы НЕТ корней, т. е. дискриминант < 0

запишем выражение для дискриминанта ...

4 (4k-1) ^2 - 4 (15k^2 - 2k - 7) < 0

64k^2 - 32k + 4 - 60k^2 + 8k + 28 < 0

k^2 - 6k + 8 < 0

по т. Виета корни здесь 2 и 4, решение между корнями ...

т. к. k должно быть целым, ответ 3

Ищи дискриминант и ставь условие, что он должен быть больше или равен нулю.

И решаешь неравенство относительно k.

Надеюсь, стало понятней. Удачи!