Найти натуральные корни уравнения 2^x+1=y^2

Решение 1. 2^x = y^2 - 1

2^x = (y - 1) (y + 1)

Слева степень двойки - > справа произведение степеней двойки

Единственные степени двойки, различающиеся на 2, - это 2 и 4 (все другие соседние степени двойки отличаются не менее, чем на 4, и вообще 2^ (n+1) - 2^n=2^n)

Ответ. (1, 3).

Решение 2. Слева нечётное число - > справа нечётное число, тогда y = 2Y - 1, Y - натуральное.

2^x + 1 = 4Y^2 - 4Y + 1

2^x = 4Y (Y-1)

Слева степень двойки - > справа произведение степеней двойки - > Y и Y-1 - степени двойки, но они разной чётности - > Y = 2

y = 2*2 - 1 = 3;

x = 1

Ответ. (1, 3)