На доске написано число 0. За один ход можно увеличить число на доске на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9, но так, чтобы результат не делился на 10. Какое наибольшее число может получиться на доске через 82 хода?

729.

В первые девять ходов максимальными цифрами 9 набирается число 81. Каждые последующие девять ходов набираем по 80, так как чтобы не получилось круглое число, берём девятое число не девятку, а восьмёрку и восемь девяток. В итоге получается 9 раз по девять ходов, это 81 шагов и число 721 и 82-й шаг делаем цифрой восемь, получается 82 шагов и число 729.