Составить уравнения общих касательных к графикам функций у = ((x-1) ^3) * 32/9 и y=x^2

1) f (x) = (32/9) * (x-1) ^3, уравнение касательной в какой-либо точке x1:

y1=f (x1) + f ' (x1) (x-x1) = f ' (x1) x + f (x1) - f ' (x1) x1

f (x1) = (32/9) (x1-1) ^2, f ' (x) = (32/9) * 3 (x-1) ^2 = (32/3) (x-1) ^2,

f ' (x1) = (32/3) (x1-1) ^2

2) f (x) = x2, уравнение касательной в какой-либо точке x2:

y2=f (x2) + f ' (x2) (x-x2) = f ' (x2) x + f (x2) - f ' (x2) x2

f (x2) = (x2) ^2, f ' (x) = 2x, f ' (x2) = 2 (x2)

Если касательные общие, значит y1=y2,

значит должны быть равны коэфф. перед x и свободные члены,

получаем систему уравнений с 2 неизвестными:

f ' (x1) = f ' (x2), f (x1) - f ' (x1) x1 = f (x2) - f ' (x2) x2

1. (32/3) (x1-1) ^2 = 2 (x2) ; 2. (32/9) * (x1-1) ^3 - x1 * (32/3) (x1-1) ^2 = (x2) ^2 - 2 (x2) ^2

1. ((32/3) (x1-1) ^2) / (x2) ^2 = 2; 2. (((32/3) (x1-1) ^2) / (x2) ^2) ((x1-1) / 3 - x1) = - (x2) ^2;

подставляя первое в 2, из второго уравнения получаем:

2 (x1-1-3x1) / 3 = - x2, 2 (2x1+1) / 3 = x2, подставляем в 1.

((32/3) (x1-1) ^2=4 (2x1+1) / 3, 8 (x1^2 - 2x1+1) = 2x1+1,

8x1^2-18x1+7=0, x1 = (18 + - √100) / 16, x1=1/2, x1=7/4

Теперь найдем уравнения касательной y1, они же будут равны = y2:

1. x1=1/2, f (x1) = (32/9) (1/2 - 1) ^3 = (32/9) (-1/2) ^3 = (32/9) (-1/8) = - 4/9

f ' (x1) = (32/3) (1/2 - 1) ^2 = (32/3) (1/4) = 8/3

y1 = - 4/9 + (8/3) (x-1/2) = - 4/9 + (8/3) x - 8/6, обозначим y1 просто y:

18y=48x-32, 9y=24x-16 - первое уравнение общей касательной

2. x1=7/4, f (x1) = (32/9) (7/4 - 1) ^3 = (32/9) (3/4) ^3 = (32/9) (27/64) = 3/2,

f ' (x1) = (32/3) (7/4 - 1) ^2 = (32/3) (3/4) ^2 = (32/3) (9/16) = 6

y1=3/2 + 6 (x - 7/4) = 3/2+6x - 21/2=6x-9, обозначим y1 просто y:

y=6x - 9 - второе уравнение общей касательной