Lim x->0 (sin3x+Sinx) / 2x

1. Преобразуем числитель по формуле сумма синусов:

sin (3x) + sin (x) = 2 * sin (2x) * cos (x) = ...

2. sin (2x) распишем как синус двойного угла:

... = 2 * 2 * sin (x) * cos (x) * cos (x) = 4 * sin (x) * cos^2 (x)

3. Возвращаемся к пределу. Переписываем числитель в преобразованном виде и сокращаем числитель и знаменатель на 2:

lim (x->0) (4 * sin (x) * cos^2 (x) / 2x) = lim (x->0) (2 * sin (x) * cos^2 (x) / x)

4. По основному тригонометрическому тождеству запишем cos^2 (x) как 1-sin^2 (x)

5. Так как х->0, то произведём эквивалентности: sin (x) ~x, sin^2 (x) ~x^2, затем подставим их в предел и сократим на х:

lim (x->0) (2x (1-x^2) / x) = lim (x->0) (2-2x^2)

6. Вычисляем предел, полагая х=0:

lim (x->0) (2-2x^2) = lim (x->0) (2-2 * 0^2) = lim (x->0) (2-0) = 2

Ответ: 2.