Исследовать на возрастание и убывание функцию: y=x^3+3x^2.

Решение

y = x³ + 3x²

1. Находим интервалы возрастания и убывания.

Первая производная.

f' (x) = 3x² + 6x

или

f' (x) = 3x * (x + 2)

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

3x * (x + 2) = 0

Откуда:

3x = 0

x₁ = 0

x + 2 = 0

x₂ = - 2

(-∞; - 2) f' (x) > 0 функция возрастает

(-2; 0) f' (x) < 0 функция убывает

(0; + ∞) f' (x) > 0 функция возрастает

В окрестности точки x = - 2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = - 2 - точка максимума.

В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.