Найти производную: у=tg4x/sin2x

Найти производную: у=tg4x/sin2x

решение:

Можно сразу найти производную дроби

у' = (tg (4x) / sin (2x)) ' = ((tg (4x)) ' sin (2x) - tg (4x) (sin (2x)) ') / sin² (2x) =

= ((4x) 'sin (2x) / cos² (4x) - tg (4x) * cos (2x) * (2x) ') / sin² (2x) =

= (4sin (2x) / cos² (4x) - 2tg (4x) * cos (2x)) / sin² (2x)

Или преобразовать исходную функцию

у=tg4x/sin2x = sin (4x) / (sin (2x) * cos (4x)) = 2sin (2x) * cos (2x) / (sin (2x) * cos (4x)) =

=2cos (2x) / cos (4x)

И теперь найти производную дроби

y' = (2cos (2x) / cos (4x)) ' = 2 ((cos (2x)) '*cos (4x) - cos (2x) * (cos (4x)) ' / cos² (4x) =

= 2 (-2sin (2x) * cos (4x) + 4sin (4x) cos (2x)) / cos² (4x)

Возможно исходный вариант функции y = tg^4 (x) / sin² (x)

Тогда также берем как производную дроби

y' = (tg^4 (x)) '*sin² (x) - tg^4 (x) * (sin² (x)) ' / sin^4 (x) =

= (4tg³ (x) * sin² (x) / cos² (x) - tg^4 (x) * 2sin (x) * cos (x)) / sin^4 (x)