Решить в целых числах уравнение:

x² = y² + 6y + 21

Tx^2=y^2+6y+21,

x^2=y^2+6y+9+12,

x^2 = (y+3) ^2+12,

x^2 - (y+3) ^2=12, пусть t=y+3

(x+t) (x-t) = 12.

Если x и t целые, то x+t, x-t целые числа, пусть x+t=k, x-t=m, тогда

x = (k+m) / 2

t = (k-m) / 2, причем k*m=12

Так как числа x и t целые, то k и m одновременно могут быть либо четными, либо нечетными. Учитывая, что 1*12=12, 2*6=12,3*4=12, то последнему условия удовлетворяют толки следующие целые числа (k, m) : (2,6) ; (6,2) ; (-2; -6) ; (-6,-2). Откуда

x=4, y=t-3=-2-3=-5

x=4, y=t-3=2-3=-1

x=-4, y=t-3=2-3=1

x=-4, y=t-3 = - 2-3=-5