Найдите значения параметра m при которых сумма квадратов действительных корней уравнения x^2 + (m-3) x+m^2-6m-9.75=0 будет наименьшей. В ответ запишите наибольшее значение m.

Question

Алгебра

Ольгуня

11 мая, 19:58

Найдите значения параметра m при которых сумма квадратов действительных корней уравнения x^2 + (m-3) x+m^2-6m-9.75=0 будет наименьшей. В ответ запишите наибольшее значение m.

+2

Ответы (1)

Знаете ответ на вопрос?

Иродион · Answer 1

x^2 + (m-3) x+m^2-6m-9.75=0

x^2 + (m-3) x+m^2-6m+9-18.75=0

x^2 + (m-3) x + (m-3) ^2-18.75=0

D = (m-3) ^2-4 * ((m-3) ^2-18.75) = 75-3 * (m-3) ^2=3 * (5^2 - (m-3) ^2)

решения действительны значит D>=0 значит - 5 < = m-3 < = 5 значит - 2 < = m < = 8

причем при m=-2 и m=8 имеем по одному корню вместо двух

теперь т. Виетта

x1+х2 = - (m-3)

x1*x2 = (m-3) ^2-18.75

x1^2+х2^2 = (x1+х2) ^2-2*x1*x2 = (m-3) ^2-2 (m-3) ^2+2*18.75 = 37,5 - (m-3) ^2

поиск минимума функции f (m) = 37,5 - (m-3) ^2 на участке [-2; 8] дает результат

что 37,5 - (m-3) ^2 принимает максимальное значение при m=3 и равно 37.5

и что 37,5 - (m-3) ^2 принимает минимальное значение при m=-2 и m=8 и оно равно 13

заметим также что при m=-2 корень единственный х = - (m-3) / 2=2,5; и сумма квадратов корней x^2=6,25

и при m=8 тоже корень единственный х = - (m-3) / 2=-2,5; и сумма квадратов корней x^2=6,25

из вариантов m=-2 и m=8 выбираем максимальный m=8 - это ответ