Существует ли натуральное число, за которым последующие 13 натуральных чисел не являются простыми

Да, такое число существует.

Например, это число 3833 (простое).

Следующее за ним простое число равно 3847.

Т. о., между числами 3833 и 3847 лежит ровно 13 составных чисел, т. е. 13 чисел не являющихся простыми.

(см. таблицу простых чисел до 10000)

А вообще, существует закономерность расположения рядов чисел витками (спиралями) с периодом витка спирали равной числу 6. В таких рядах имеются простые числа.

К таким рядам относятся, например ряды 6n+1, n∈N, либо 6n+5, n∈N+{0}

3833=6*638+5

3847=6*641+1