Найдите все значения параметра а, при которых минимальное значение функции f (x) = 4x^2-4ax+a^2-2a+2 на отрезке х принадлежит 0; 2 включительно и уравнение равно 3

Найдите все значения параметра а, при которых минимальное значение функции f (x) = 4x^2-4ax+a^2-2a+2 на отрезке х принадлежит 0; 2 включительно и уравнение равно 3

Уравнение f (x) = 4x^2-4ax+a^2-2a+2 является параболой

Найдем значение х при котором парабола имеет минимальное значение

y' (x) = 8x-4a

y' (x) = 0 или 8x-4a = 0

8 х = 4 а

х = (1/2) a

Минимум параболы вида ax^2+bx+с

можно найти по формуле

x = - b / (2a)

В нашем случае 4x^2-4ax+a^2-2a+2

a=4 b = - 4 а

x = 4a / (2*4) = (1/2) a

Так как отрезок минимума ограничен отрезком от 0 до 2 то можно записать неравенство

0 < х < 2 или 0 < (1/2) a < 2

0 < a < 4

Теперь осталось найти само значение а при котором минимум функции равен 3

Подставим значение х = (1/2) a в уравнение функции

y (a/2) = 4*a^2/4 - 4a*a/2 + a^2-2a+2 = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a + 2 = - 2a + 2

-2a + 2 = 3

2a = - 1

a = - 1/2 = - 0,5 (не подходит так как 0 < a < 4)

Поэтому решения нет

F' (x) = 8x-4a

x=a/2 0<=a/2<=2

0<=a<=4

f (a/2) = 4*1/4-4a^2/2+a^2-2a+2=3-a^2-2a=3

a^2+2a=0 a=0 a=2