Значение параметра a, при котором уравнение (модуль (x^2 - 3ax)) = a, имеет три корня, равно

Ответ: 4/9

Значение параметра а, при котором уравнение |x²-3ax|=a, имеет три корня ровно.

Решение.

Значение параметра а >0 так как при a<0 уравнение не имеет решения.

x²-3ax - является уравнением параболы с ветвями направленными вверх и пересекающей ось Ох в точках (0; 0) и (3 а; 0). Так как а>0 то вторая точка находится в первой четверти координатной плоскости. Модуль выражения x²-3ax - является той же параболой у которой участок параболы находящийся ниже оси Ох зеркально отображен вверх над осью Ох.

Данное уравнение имеет только три решения если прямая у = а пересекает ветви параболы у = x²-3ax и одновременно касается вершины параболы на участке 0
Найдем координаты (xo; yo) вершины параболы у = x²-3ax

xo = 1,5a

yo = (1,5) ²a² - 3*1,5a = - 1,5²a²

Вершина нашей параболы у = |x²-3ax| находится в точке

xo = 1,5a

yo = |-1,5²a²| = 1,5²a² = (3/2) ²a² = (9/4) a² = 9a²/4

Так как прямая у=a касается вершины параболы то запишем уравнение

9a²/4 = а

9 а/4 = 1

a = 4/9

Ответ: 4/9