Внутри треугольника выбраны две точки. Расстояния от одной из них до сторон треугольника равны 2, 4 и 8, а от другой (стороны рассматриваются в том же порядке) - 4, 5 и 7. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Пусть а, b, c - стороны треугольника, к которым проведены соответствующие отрезки. Тогда, если S - площадь треугольника, то 2S=2a+4b+8c и 2S=4a+5b+7c. Вычитая эти равенства, получим 2a+b=c. Значит 2S=2a+4b+8 (2a+b) = 18a+12b.

Радиус вписанной окружности равен

2S / (a+b+c) = (18a+12b) / (a+b + (2a+b)) = (18a+12b) / (3a+2b) = 6 (3a+2b) / (3a+2b) = 6.