Найти сумму 19 первых членов арифметической прогрессии a1, a2, a3, ..., если известно, что a4 + a8 + a12 + a16 = 224.

Согласно формуле общего члена арифметической прогресии an = a1 + d (n - 1). Тогда имеем:

a1 + d (4 - 1) + a1 + d (8 - 1) + a1 + d (12 - 1) + a1 + d (16 - 1) = 224

4a1 + 36d = 224

a1 + 9d = 56

a1 = 56 - 9d

По формуле суммы арифметической прогрессии

S19 = (a1 + a19) / 2 * 19 = (2a1 + 18d) / 2 * 19 = (a1 + 9d) * 19 = (56 - 9d + 9d) * 19 = 1064.

Исходя из формулы an = a1 + d (n - 1). мы получим:

a1 + d (4 - 1) + a1 + d (8 - 1) + a1 + d (12 - 1) + a1 + d (16 - 1) = 224

4a1 + 36d = 224

a1 + 9d = 56

a1 = 56 - 9d

Исходя из формулы арифметической прогрессии следует что:

S19 = (a1 + a19) / 2 * 19 = (2a1 + 18d) / 2 * 19 = (a1 + 9d) * 19 = (56 - 9d + 9d) * 19 = 1064.

Ответ: 1064