Докажите что при n >=5 справедливо неравенство 2^ (n) >=n^ (2) + n + 2 (n = натуральное число

Можно по индукции. При n=5 это верно 2^5=5^2+5+2=32

Предположим, что 2^ (n) >=n^ (2) + n + 2, тогда домножив обе части на 2, получаем, 2^ (n+1) >=2n^2+2n+4. Но

2n^2+2n+4>=n^2+3n+4, т. к. оно равносильно n^2>=n, что верно для всех натуральных n. Итак,

2^ (n+1) >=n^2+3n+4 = (n+1) ^2 + (n+1) + 2, т. е. неравенство выполняется и при n+1.