При каких натуральных n число 2^n + 65 является квадратом натурального числа?

Все натуральные числа представимы в одном из видов 5k, 5k + - 1, 5k + 2, тогда квадраты дают остатки 0, 1 и 4 при делении на 5. 65 делится на 5, тогда, чтобы получился полный квадрат, необходимо, чтобы 2^n давало остаток 0, 1 или 4 при делении на 5.

Вычисляем остатки от деления на 5 степеней двойки:

2^1 = 2 = 2 (mod 5) - неподходящий остаток

2^2 = 4 = 4 (mod 5)

2^3 = 8 = 3 (mod 5) - неподходящий остаток

2^4 = 16 = 1 (mod 5)

2^5 = 32 = 2 (mod 5) - такой же остаток, что и у 2^1,

...

Так как остаток при делении степени на 5 зависит только от остатка при делении на 5 предыдущей степени, то из того, что 2^1 и 2^5 дают одинаковые остатки, следует, что последовательность остатков периодична с периодом 4. Значит, так как при показателях, меньших 5, подходили только степени с чёётным показателем, то можно сделать вывод, что n чётно, n = 2m.

2^ (2m) + 65 = k^2

k^2 - (2^m) ^2 = 65

(k + 2^m) (k - 2^m) = 65

65 можно разложить на два множителя следующими способами: 65 = 65 * 1 = 13 * 5. Получаем два возможных варианта:

1) k + 2^m = 65, k - 2^m = 1

Вычитаем из первого уравнения второе, получаем 2 * 2^m = 64, m = 5, n = 10 (тогда 2^10 + 65 = 1089 = 33^2)

2) k + 2^m = 13, k - 2^m = 5

2 * 2^m = 8

m = 2

n = 4 (в этом случае 2^n + 65 = 81 = 9^2).

Ответ. при n = 4 и n = 10.