Помогите исследовать гра фик функции y = ((x+1) ^2) / (x-1)

Решение:

y (x) = x² / (x-1)

1) Область определения: (- ∞; 1) (1; ∞)

2) Множество значений: (0; ∞)

3) Проверим является ли функция четной или нечетной:

y (х) = x² / (x-1)

y (-x) = x² / (-x-1), так как y (х) ≠y (-х) и y (-х) ≠-y (х), то функция не является ни четной ни не четной.

4) Найдем координаты точек пересечения с осями координат:

а) с осью ОХ: у=0, получаем: x² / (x-1) = 0,

x²=0

x=0 график пересекат ось обсцисс и ординат в точке (0; 0)

5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции:

y' = (2x (x-1) - x²) / (x-1) ² = (x²-2x) / (x-1) ²; y'=0

(x²-2x) / (x-1) ²=0,

x²-2x=0

x1=0

x2=2 Получили 2 стационарные точки, проверим их на экстремум:

Так как на промежутках (- ∞; 0) (2; ∞) y'>0, то на этих промежутках функция возрастает.

Так как на промежутках (0; 1) (1; 2) у'< 0, то на этих промежутках функция убывает.

Точка х=0 является точкой максимума у (0) = 0

Точка х=2 является точкой минимума у (2) = 4

6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

fу" = ((2x-2) (x-1) ²-2 (x-1) (x²-2x)) / (x-1) ^4=2 / (x-1) ³; y"=0

2 / (x-1) ³=0, уравнение не имеет корней, следовательно точек перегиба функция не имеет.

Так как на промежутке (1; ∞), y"> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз.

Так как на промежутке (- ∞; 1) y"< 0 то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вверх

7) Проверим имеет ли график функции асимптоты:

а) вертикальные. Найдем односторонние пределы в точке разрыва х=1

lim (прих->1-0) (x² / (x-1)) = - ∞

lim (прих->1+0) (x² / (x-1)) = ∞ так как пределы бесконечны то прямая х=1 является вертикальной асимптотой.

б) Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты вида у=kx+b

k=lim (при х->∞) (y (x) / x) = lim (при х->∞) (x² / (x (x-1)) = 1

b=lim (при х->∞) (y (x) - kx) = lim (при х->∞) (x² / (x-1) - x) = 1

Итак прямая у=x+1 является наклонной асимптотой.

Все стройте график.