Стороны угла А пересекают окружность в четырех точках (B, C, D, E), при этом окружность делится на дуги, которые относятся как 3:5:6:4 в порядке против часовой стрелки, начиная с дуги, заключенной внутри угла. Найдите величину угла А (в градусах).

Так как четыре точки делят окружность на дуги, которые относятся как 3:5:6:4, то дуга ВС = 3 х⁰, СД=5 х⁰, ДЕ = 6 х⁰, ЕВ=4 х⁰. Длина окружности соответствует 360⁰. Решив уравнение 3 х+5 х+6 х+4 х = 360, получим х=20.

Рассмотрим треугольник АДЕ. Угол АДЕ - вписанный и равен половине дуги, на которую опирается, значит угол АДЕ = 1/2 дуги СВЕ = 1/2 * (3 х+4 х) = 1/2 * 7 х =

=1/2 * 7 * 20 = 70⁰. Угол АЕД вписанный и опирается на дугу ВСД и равен ее половине, т. е. 1/2 (3 х+5 х) = 80°.

Тогда искомый угол А = 180° - (70° + 80°) = 30°