Докажите, что из всех прямоугольников, периметр которых равен 80 см, наибольшую площадь имеет квадрат

Пусть одна сторона равна X, тогда вторая равна (40-X). Площадь равна S (X) = x (40-x). Найдем максимум этой функции на отрезке [0; 40 ]. S * (x) = (40x-x^2) * = 40-2x, 40-2x=0, x=20. Одна стационарная точка при переходе через которую производная меняет знак с (+) на (-). Поэтому x=20-точка максимума. Найдем вторую сторону: 40-20=20 см. Прямоугольник с равными сторонами есть квадрат. Доказано.