При каких значениях параметра а число 2 является точкой минимума функции: y = (2x-a) ^3 (x+a) ^4

Точка минимума у функции там, где ее производная обращается в 0.

y = (2x - a) ^3 * (x + a) ^4

y ' = 3 (2x - a) ^2*2 * (x + a) ^4 + (2x - a) ^3*4 (x + a) ^3 = 0

6 (2x - a) ^2 * (x + a) ^4 + 4 (2x - a) ^3 * (x + a) ^3 = 0

(2x - a) ^2 * (x + a) ^3 * (6 (x + a) + 4 (2x - a)) = 0

(2x - a) ^2 * (x + a) ^3 * (14x + 2a) = 0

Мы знаем, что точка минимума x0 = 2, подставляем

(4 - a) ^2 * (2 + a) ^3 * (28 + 2a) = 0

a1 = 4; a2 = - 2; a3 = - 14 - это критические точки, но их надо проверить.

y '' = 2*2 (2x - a) * (x + a) ^3 * (14x + 2a) + 3 (2x - a) ^2 * (x + a) ^2 * (14x + 2a) +

+ 14 (2x - a) ^2 * (x + a) ^3 =

= (2x-a) (x+a) ^2 * (4 (x+a) (14x+2a) + 3 (2x-a) (14x+2a) + 14 (2x-a) (x+a)) = 0

При а = 4 и а = - 2 точка x0 = 2 будет не точкой экстремума, а точкой перегиба, потому что в ней y '' = 0.

И только при а = - 14 точка x0 = 2 будет точкой минимума.