Найдите предел последовательности {xn}, заданной следующим образом: x1=2, xn+1=1+1/xn. Если предел последовательности равен a, укажите в ответе величину ⌊2a⌋, где ⌊x⌋ - целая часть числа xx (наибольшее целое число, не превосходящее x). Если последовательность не сходится, укажите в ответе - 1.

Докажем, что все члены последовательности лежат в пределах [3/2; 2].

x_1 там лежит; пусть для некоторого n выполнено 3/2≤x_n≤2;

тогда 1/2≤1/x_n≤2/3⇒3/2≤1 + (1/x_n) ≤5/3<2⇒3/2≤x_ (n+1) ≤2; тем самым методом математической индукции утверждение доказано для всех членов последовательности.

Далее, оценим разность между соседними членами последовательности:

|x_ (n+1) - x_n|=|1 + (1/x_n) - 1 - (1/x_ (n-1)) |=|x_ (n-1) - x_n| / (x_n·x_ (n-1)) ≤

|x_ (n-1) - x_n| / (3/2) ^2

Отсюда следует сходимость последовательности.

Предел A последовательности теперь ищется элементарно. Для этого нужно перейти к пределу в равенстве x_ (n+1) = 1 + (1/x_n) :

A=1 + (1/A) ; A^2-A-1=0; A = (1+√5) / 2 (отрицательный корень отбросили, поскольку A>0

[2A]=[1+√5]=3

Ответ: 3