Три числа b1, b2, b3 в указном порядке являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найти эти числа, если три числа b1, b2+2, b3 и три числа b1, b2+2, b3+9 в порядке их записи являются соответственно членами арифметической и геометрической прогрессий.

Числа b1, b2, b3 - это геометрическая прогрессия со знаменателем q.

b2 = b1*q;

b3 = b1*q^2

Числа b1, b2+2, b3 - это арифметическая прогрессия с разностью d ...

b2 + 2 = b1*q + 2 = b1 + d

b3 = b1*q^2 = b1 + 2d

Числа b1, b2+2, b3+9 - это геометрическая прогрессия со знам. p.

b2 + 2 = b1*q + 2 = b1*p

b3 + 9 = b1*q^2 + 9 = b1*p^2

Составляем систему

{ b1*q + 2 = b1 + d

{ b1*q^2 = b1 + 2d

{ b1*q + 2 = b1*p

{ b1*q^2 + 9 = b1*p^2

Преобразуем

{ b1 * (q - 1) = d - 2

{ b1 * (q^2 - 1) = b1 * (q - 1) (q + 1) = 2d

{ b1 * (p - q) = 2

{ b1 * (p^2 - q^2) = b1 * (p - q) (p + q) = 9

Получаем

{ b1 * (q - 1) = d - 2

{ q + 1 = 2d / (d - 2)

{ b1 * (p - q) = 2

{ p + q = 9/2 = 4,5

Подставляем q из 2 уравнения в 1.

{ q = 2d / (d-2) - 1 = (2d-d+2) / (d-2) = (d+2) / (d-2) = 1 + 4 / (d-2)

{ b1*4 / (d-2) = d - 2;

Получаем

b1 = (d-2) ^2 / 4

Подставляем p из 4 уравнения в 3

{ b1 = 2 / (p - q)

{ p + q = 4,5

Получаем p = 4,5 - q; p - q = 4,5 - 2q

q = 1 + 4 / (d-2) = (d-2+4) / (d-2) = (d+2) / (d-2) ;

p - q = 4,5 - 2 (d+2) / (d-2) = 9/2 - (2d+4) / (d-2)

p - q = (9d-18-4d-8) / (2d-4) = (5d-26) / (2d-4)

b1 = 2 / (p - q) = 2 * (2d-4) / (5d-26) = (4d-8) / (5d-26)

Приравниваем b1

(d-2) ^2 / 4 = (4d-8) / (5d-26) = 4 (d-2) / (5d-26)

Делим на (d-2)

(d-2) / 4 = 4 / (5d-26)

(d-2) (5d-26) = 16

5d^2 - 10d - 26d + 52 - 16 = 0

5d^2 - 36d + 36 = 0

D/4 = (b/2) ^2 - ac = (-18) ^2 - 5*36 = 324 - 180 = 144 = 12^2

d1 = (b/2 - √ (D/4)) / a = (18 - 12) / 5 = 6/5

d2 = (b/2 + √ (D/4)) / a = (18 + 12) / 5 = 6

Находим все остальное.

1) d1 = 6/5; b1 = (d-2) ^2 / 4 = (6/5 - 2) ^2 / 4 = (-4/5) ^2 / 4 = (16/25) / 4 = 4/25

q = (d+2) / (d-2) = (6/5 + 2) / (6/5 - 2) = (16/5) / (-4/5) = 16 / (-4) = - 4

p = 4,5 - q = 4,5 + 4 = 8,5 = 17/2

b2 = b1*q = 4/25 * (-4) = - 16/25; b2 + 2 = 2 - 16/25 = 34/25

b3 = b2*q = (-16/25) * (-4) = 64/25; b3 + 9 = 9+64/25 = 289/25

Проверяем

b1, b2, b3 = 4/25; - 16/25; 64/25 - геом. прогрессия с q = - 4

b1, b2+2, b3 = 4/25; 34/25; 64/25 - ариф. прогрессия с d = 30/25 = 6/5

b1, b2+2, b3+9 = 4/25; 34/25; 289/25 - геом. прогрессия с p = 17/2

2) d2 = 6; b1 = (d-2) ^2 / 4 = (6-2) ^2 / 4 = 4^2 / 4 = 4

q = (d+2) / (d-2) = (6+2) / (6-2) = 8/4 = 2

p = 4,5 - q = 4,5 - 2 = 2,5 = 5/2

b2 = b1*q = 4*2 = 8; b2 + 2 = 10

b3 = b2*q = 8*2 = 16; b3 + 9 = 25

Проверяем

b1, b2, b3 = 4; 8; 16 - геом. прогрессия с q = 2

b1, b2+2, b3 = 4; 10; 16 - ариф. прогрессия с d = 6

b1; b2+2; b3+9 = 4; 10; 25 - геом. прогрессия с p = 5/2