Найдите наибольшее значение функции y = 2 cos x + √3x - √3π/3 на отрезке [0; π/2]

Чтобы найти наибольшее значение на отрезке, нужно найти экстремумы функции и сравнить их со значенями функции на концах отрезка. Подозрительные на экстремум точки - это точки, в которых производная функции равна нулю. Найдем производную и выясним, в каких точках она равна нулю. (^3x^-квадратный корень)

y' = (2cos x+^3x^-^3 п^/3) ' = (2cos x) ' + (^3x^) ' - (^3 п^/3) = 2 (-sin x) + ^3^-0=-2sin x+^3^

Выясним в каких точках производная равна нулю.

-2sin x+^3^=02sin x=^3^sin x=^3^/2x = (-1) k arcsin^3^/2+пk, k принадлежит Z

В условиях задачи задан отрезок [0; п/2], поэтому нам нужно выбрать только значения из этого промежутка. Этому условию удовлетворяет только точка x=п/3.

Найдем значение функции в этой точке:

y (п/3) = 2cos (п/3) + ^3^ * (п/3) - ^3 п^/3=2*1/2+^3 п^/3-^3 п^/3=1

Найдем значения функции на концах отрезка:

y (0) = 2cos 0+^3^*0-^3 п^/3=2-^3 п/3^

y (п/2) = 2cos (п/2) + ^3^*п/2-^3 п^/3=2*0+^3 п^/2-^3 п^/3=^3 п^/6

Выбираем максимальное из трех значений 1,2 - ^3 п^/3, ^3 п^/6. Это 1.

Ответ: 1