Тригонометрия 10 класс

2cosx+3sinx=3

Возведём обе части уравнения в квадрат, тогда:

(2cos (x) + 3sin (x)) ^2 = 3^2

4cos^2 (x) + 12cos (x) sin (x) + 9sin^2 (x) = 9

Тригонометрическая единица - это cos^2 (x) + sin^2 (x)

Тогда справа 9 умножим на эту единицу:

4cos^2 (x) + 12cos (x) sin (x) + 9sin^2 (x) = 9 (sin^2 (x) + cos^2 (x))

4cos^2 (x) + 12cos (x) sin (x) + 9sin^2 (x) = 9sin^2 (x) + 9cos^2 (x)

Преобразуем:

4cos^2 (x) + 12cos (x) sin (x) + 9sin^2 (x) - 9sin^2 (x) - 9cos^2 (x) = 0

-5cos^2 (x) + 12cos (x) sin (x) = 0

Вынесем cos (x) за скобки:

cos (x) * (-5cos (x) + 12sin (x)) = 0

Поделим на - 1 для смены знаков:

cos (x) * (5cos (x) - 12sin (x)) = 0

Тогда решение разобьётся на 2 уравнения:

1) cos (x) = 0

x = п/2 + пк, k принадлежит Z

2) 5cos (x) - 12sin (x) = 0

Поделим уравнение на cos (x), при условии, что cos (x) не равен 0. Тогда:

5 - 12tg (x) = 0

Поделим на - 1 для смены знака:

12tg (x) - 5 = 0

12tg (x) = 5

tg (x) = 5/12

x = arctg (5/12) + пk, k принадлежит Z

Ответ: x = п/2 + пк, k принадлежит Z; x = arctg (5/12) + пk, k принадлежит Z