Найдите точки экстремума функции y=x^2e^x

Находим первую производную функции:

y' = (x^2) * (e^x) + 2x * (e^x)

или

y' = x (x+2) * (e^x)

Приравниваем ее к нулю:

x (x+2) * (e^x) = 0

x1 = - 2

x2 = 0

Вычисляем значения функции

f (-2) = 4 / (e^2)

f (0) = 0

Ответ:

fmin = 0, f max = 4 / (e^ 2)

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:

y'' = (x^2) * (e^x) + 4x * (e^x) + 2 * (e^x)

или

y'' = (x^2 + 4x + 2) * (e^x)

Вычисляем:

y'' (-2) = - 2 / (e^2) < 0 - значит точка x = - 2 точка максимума функции.

y'' (0) = 2 > 0 - значит точка x = 0 точка минимума функции.