На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Разрешается выбрать любые два числа x и y, стереть их, и записать вместо них на доску числа x-1 и y+3. Через 100 таких операций на доске оказались числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, N (записанные в некотором порядке). Найдите наибольшее число N, для которого такое могло получиться.

У меня получилось 201.

В задаче сказано, что нужно найти наибольшее число N, т. е. для этого подойдёт число 9, которое при каждой операции будет увеличиваться на 3.

Но при каждой такой операции на единицу будут уменьшаться остальные числа. Поэтому помимо числа 9 нужно ещё позаботиться ещё и о них, т. е. на увеличение числа 9 уйдёт не 100 операций, а меньше. Нужно вычислить, сколько же именно уйдёт таких операций. Для этого сначала нужно подсчитать количество операций при манипулировании числами 1,2,3,4,5,6,7,8. Если в начале их сумма была 1+2+3+4+5+6+7+8=36, то в конце должна быть сумма 2+3+4+5+6+7+8+9=44. При каждой такой операции именно с этими числами их сумма будет увеличиваться на 2. Получается часть операций уйдёт на увеличение суммы первых 8-ми чисел, а остальная часть на увеличение последнего числа 9 и уменьшение на единицу суммы первых 8-ми чисел. Зная такие данные, составим уравнение:

36 + 2*x - (100-x) = 44, где x - число операций по увеличению суммы первых 8-ми чисел

Левая часть уравнения (36 + 2*x) означает, что через x операций сумма первых 8-ми чисел достигнет какого-то числа. Затем через 100-x операций эта сумма, как мы уже выше посчитали, должна быть равна 44.

Решая это уравнение, получаем x = 36.

Значит, на увеличение числа 9 уйдёт 100-36=64 операций.

И в самом конце вместо числа 9 будет число 9+3*64=201