разность между шестым и четвертым членами геометрической прогрессии равна 72, а между третьим и первым равна 9. Найти сумму 8 членов этой прогрессии.

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Sn = b₁· (q^n - 1) / (q - 1)

Для 8 членов геометрической прогрессии

S₈ = b₁· (q⁸ - 1) / (q - 1)

Формула для n-го члена геометрической прогрессии:

bn = b₁·q^ (n-1)

n = 6 b₆ = b₁·q⁵

n = 4 b₄ = b₁·q³

n = 3 b₃ = b₁·q²

По условию:

b₆ - b₄ = 72

b₃ - b₁ = 9

или

b₁·q⁵ - b₁·q³ = 72

b₁·q² - b₁ = 9

Преобразуем эти выражения

b₁·q³· (q² - 1) = 72 (1)

b₁· (q² - 1) = 9 (2)

Разделим (1) на (2) и получим

q³ = 8, откуда

q = 2

Из (2) найдём b₁

b₁ = 9 / (q² - 1) = 9 / (4 - 1) = 3

Подставим q = 2 и b₁ = 3 в S₈ = b₁· (q⁸ - 1) / (q - 1)

S₈ = 3· (2⁸ - 1) / (2 - 1) = 3· (256 - 1) = 765

Ответ: S₈ = 765

b6-b4=b1*q^5-b1*q^3 = b1*q^3 (q^2-1) = 72

b3-b1=b1*q^2-b1=b1 (q^2-1) = 9

Подставим второе в первое

b1 * (q^2-1) q^3 = 9*q^3 = 72

q^3 = 72/9 = 8

q = 2

b1 (q^2-1) = b1 (4-1) = 9

b1 = 9/3 = 3

S = b1 * (q^n-1) / (q-1) = b1 (q^8-1) / (q-1) = 3 (2^8-1) / 1=3 * (256-1) = 765