Найдите хотя бы один многочлен удовлетворяющий условию (х-2016) R (x+63) = xR (х)

Для упрощения сделаем в исходном тождестве замену x=63t и обозначим F (t) = R (63t). Т. к. R (x) - многочлен, то F (t) - тоже многочлен. Тогда, т. к. 2016=63*32, то исходное тождество перепишется в виде

(t-32) F (t+1) = tF (t).

Подставим в него t=0, получим - 32F (1) = 0*f (0), откуда F (1) = 0.

Подставим t=1, получим - 31F (2) = F (1) = 0, т. е. также F (2) = 0.

Затем подставляем последовательно t=2,3, ...,31. Будем последовательно получать, F (3) = F (4) = ... = F (32) = 0.

Если дальше подставить t=32, то получится опять 0=F (32).

Дальнейшая подстановка t=33, не позволяет найти F (33), т. к. будет F (34) = 33F (33). Аналогично, подстановкой t=-1, мы найдем - 33F (0) = - F (-1), откуда не найти ни F (0) ни F (-1). Таким образом, пока установлено, что F (t) имеет корни 1,2,3, ..., 32, а значит, он делится на (t-1) (t-2) · ... · (t-32). Поэтому возникает предположение, что F (t) можно попробовать искать в виде

F (t) = с (t-1) (t-2) · ... · (t-32), где c - некоторая константа. Покажем, что этот F (t) действительно удовлетворяет тождеству:

(t-32) F (t+1) = (t-32) ·ct (t-1) · ... · (t-31) = t·c (t-1) · ... · (t-31) (t-32) = tF (t). Итак, некоторые F (t) найдены. Значит, в качестве R (x) можно взять, например

R (x) = 63³²F (x/63) = (x-63) (x-2·63) (x-3·63) · ... · (x-32·63).