Определите значение параметра с так, что бы прямая x-y+c=0 была касающейся, секущей и вообще не принадлежала элипсу: 4x^2+9y^2-16x-18y+24=0

Вообщем, нужно найти прямые, чтобы были касательной, секущей и т. д

Уравнение прямой y = x + c

Уравнение эллипса 4x^2 + 9y^2 - 16x - 18y + 24 = 0

Подставляем уравнение прямой в уравнение эллипса

4x^2 + 9 (x + c) ^2 - 16x - 18 (x + c) + 24 = 0

Если прямая касательная, то это уравнение имеет 1 корень. D = 0

Если прямая секущая, то уравнение имеет 2 корня. D > 0

Если прямая не пересекается с эллипсом, то корней нет. D < 0

4x^2 + 9x^2 + 18cx + 9c^2 - 16x - 18x - 18c + 24 = 0

13x^2 + x (18c - 34) + (9c^2 - 18c + 24) = 0

D/4 = (b/2) ^2 - ac = (9c - 17) ^2 - 13 (9c^2 - 18c + 24) =

= 81c^2 - 306c + 289 - 117c^2 + 234c - 312 = - 36c^2 - 72c - 23 =

= - (36c^2 + 72c + 23) = - (36c^2 + 72c + 36) + 13 = 13 - 36 (c + 1) ^2

1) D/4 = 0

(c + 1) ^2 = 13/36

c1 = - 1 - √13/6; c2 = - 1 + √13/6

2) D/4 > 0

c ∈ (-1 - √13/6; - 1 + √13/6)

3) D/4 < 0

c ∈ (-oo; - 1 - √13/6) U (-1 + √13/6; + oo)